Bifurcation: Travail avec WinFonc et Maple

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Travail préparatoire fait en classe

A) Lancer WinFonc:

avec GRAPHES Suite Un+1=f(Un)

entrez m*x*(1-x) puis une valeur pour m, par exemple 0.5

vous entrez le premier terme 0.25

vous entrez le nombre de termes 25 par exemple

Vous zoomez sur le dessin ( cliquez coin supérieur gauche, maintenir le bouton gauche appuyé et définissez votre nouveau repère ) puis faire UTILITES Reconstruire.

La suite converge vers 0.

Pour étudier d'autres valeurs de m:

avec Utilités Gérer les graphes puis Paramètre puis Nouveau, vous entrez m puis sa nouvelle valeur la courbe et la suite sont reconstruites pour cette nouvelle valeur de m

Pour changer le premier terme ou le nombre de termes, dans Gérer les graphes, choisir Modifier et modifiez ce que vous voulez.

VALEURS de m à étudier: 0.5, 1, 2, 3 ( convergence lente, augmentez le nombre de termes ) puis dans l'intervalle ]3 ; 4[ différentes valeurs ( 3.2, 3.5, ..... ) que vous pouvez choisir à partir du schéma général ( cf document accompagnant le travail fait en classe ).

Vous pouvez utiliser Winfonc pour avoir les graphes de f(x) et de ses composées d'ordre 2, 4 .....
( utilisez le couper/coller pour écrire plus rapidement les fonctions )

Pour définir f et ses composées, définir une procédure récursive:

> w:=x-> m*x*(1-x);

> repete:=proc(x,n) if n=0 then x else w(eval(repete(x,n-1))) fi end;

> f:=x->repete(x,1);

> g:=x->repete(x,2);

Pour utiliser f ou g, vous devez préciser f(x), exemple:

> solve(f(x)-x,x);

Pour dériver f qui est une fonction utilisez l'opérateur diff:

> f2:=diff(f(x),x);

Pour que f2 soit une fonction:

> f2:=unapply(f2,x);

A partir de ces commandes, étudiez les intersections de f(x) avec y=x, la pente de la tangente au graphe de f(x) en ces points et les conditions sur m pour que cette pente soit dans [-1;1]

Refaire le même travail pour g(x) composée de f(x) avec elle-même.

Essayer de pousser Maple plus loin avec la fonction h(x) composée de g(x) avec elle-même, h(x) sera définie par

> h:=x->repete(x,4)

Pour terminer, faites dessiner les graphes de f, g et h par Maple en ayant soin de fixer m avec

> m:=3.5;plot({repete(x,0),repete(x,1),repete(x,2),repete(x,4)},x=0..1);